Aliryhmä

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Ryhmän ${\displaystyle (G,*)}$ alkioiden ei-tyhjä osajoukko ${\displaystyle H}$ muodostaa aliryhmän, mikäli

• ${\displaystyle a*b\in H}$ kaikilla ${\displaystyle a,b\in H}$ ja
• ${\displaystyle a^{-1}\in H}$ kaikilla ${\displaystyle a\in H.}$

Aliryhmärelaatiota merkitään tavallisesti ${\displaystyle H\leq G.}$

Aliryhmän käsite voidaan määritellä myös yhtäpitävästi seuraavalla tavalla. Olkoon ${\displaystyle H}$ ryhmän ${\displaystyle (G,*)}$ alkioiden osajoukko. Tällöin joukko ${\displaystyle H}$ on ryhmän ${\displaystyle (G,*)}$ aliryhmä, mikäli

• joukon ${\displaystyle H}$ binäärinen operaatio ${\displaystyle \star }$, joka saadaan asettamalla ${\displaystyle a\star b=a*b}$ kaikilla ${\displaystyle a,b\in H}$ on hyvin määritelty (tämä on yhtäpitävä ehto aikaisemman määritelmän ensimmäisen ehdon kanssa) ja
• pari ${\displaystyle (H,\star )}$ on ryhmä.

Toisin sanoen aliryhmä on itsessään ryhmä alkuperäisen ryhmäoperaation rajoittuman suhteen. Ryhmäteoriaa käsittelevässä kirjallisuudessa käytetään molempia määritelmiä.

Joukot ${\displaystyle \left\{1\right\}}$ ja ${\displaystyle G}$ ovat aina ryhmän ${\displaystyle G}$ aliryhmiä. Aliryhmää ${\displaystyle \left\{1\right\}}$ kutsutaan triviaaliksi aliryhmäksi. Mikäli ${\displaystyle H\leq G}$ ja ${\displaystyle H\not =G}$, niin aliryhmää ${\displaystyle H}$ sanotan aidoksi ja merkitään ${\displaystyle H<G.\ }$

Olkoon seuraavassa ${\displaystyle H\leq G,}$ ${\displaystyle h\in H}$ ja ${\displaystyle g\in G.}$

• Ryhmän ${\displaystyle G\ }$ neutraalialkio on myös aliryhmän ${\displaystyle H\ }$ neutraalialkio.
• Alkion ${\displaystyle h\in H}$ käänteisalkio ryhmässä ${\displaystyle G\ }$ on myös sen käänteisalkio aliryhmässä ${\displaystyle H.\ }$
• Tulo ${\displaystyle hg\in H}$ jos ja vain jos ${\displaystyle g\in H.}$ Vastaavasti ${\displaystyle gh\in H}$ jos ja vain jos ${\displaystyle g\in H.}$
• Kahden aliryhmä joukko-opillinen unioni on aliryhmä jos ja vain jos toinen aliryhmistä sisältyy toiseen. Siis jos ${\displaystyle K\leq G}$, niin

${\displaystyle H\cup K\leq G}$ jos ja vain jos ${\displaystyle H\leq K}$ tai ${\displaystyle K\leq H.\ }$

• Aliryhmien joukko-opillinen leikkaus on aliryhmä. Eli jos ${\displaystyle I}$ on mielivaltainen indeksijoukko, jolla ${\displaystyle H_{i}\leq G}$ kaikilla ${\displaystyle i\in I}$, niin tällöin leikkaus

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}H_{i}\leq G.}$

• Jos ${\displaystyle X\subset G}$, niin edellisen kohdan nojalla on olemassa sellainen yksikäsitteinen suppein ryhmän ${\displaystyle G\ }$ aliryhmä, joka sisältää joukon ${\displaystyle X\ }$. Tämä aliryhmä on

${\displaystyle \bigcap \{K\leq G|X\subset K\}\ }$ ja sitä kutsutaan joukon ${\displaystyle X\ }$ generoimaksi aliryhmäksi.

• Sivuluokka
• Normaali aliryhmä
• Aliryhmäkriteeri
• Lagrangen indeksilause
• Sylowin lauseet

• Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0