Elliptinen integraali

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Elliptiset integraalit on ovat joukko erikoisfunktioita, jotka tulivat alun perin vastaan laskettaessa ellipsiviivan pituutta. Yleinen elliptinen integraali on muotoa

${\displaystyle E(\phi )=\int _{a}^{\phi }R(t,{\sqrt {P(t)}})dt}$,

missä ${\displaystyle R}$ on rationaalifunktio ja ${\displaystyle P}$ polynomi, joka on muuttujan ${\displaystyle t}$ suhteen kolmatta tai neljättä astetta, ja jonka kaikki juuret ovat erisuuria. Integraalin alaraja ${\displaystyle a}$ on vakio, tavallisesti nolla. Integraalin yläraja voi olla myös kiinnitetty, jolloin elliptisen integraalin sanotaan olevan täydellinen. Elliptisiä integraaleja ei voida lausua alkeisfunktioiden avulla, mutta niiden arvoja on taulukoitu.

Elliptiset integraalit voidaan kirjoittaa useammalla yhtäpitävällä tavalla. Tässä käytetyistä muodoista ensimmäinen on tavallisin tapa, ns. Legendren muoto. Sitä seuraa yllä olevaa yleistä määritelmää vastaava polynomimuoto. Elliptisten integraalien käänteisfunktioita ovat trigonometrisiä funktioita muistuttavat Jacobin elliptiset funktiot.

Epätäydellinen ensimmäisen lajin elliptinen integraali on muotoa

${\displaystyle K(k,\phi )=\int _{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{\sin \phi }{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}$

Tässä esiintyvän muuttujan ${\displaystyle \phi }$ sanotaan olevan elliptisen integraalin amplitudi ja merkitään

${\displaystyle \phi =\mathrm {amp} (F)\,}$.

Vakiokerroin ${\displaystyle k}$ on puolestaan elliptinen moduuli ja se saa arvoja avoimelta väliltä ${\displaystyle 0<k<1}$. Täydellinen ensimmäisen lajin elliptinen integraali on

${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}$

Epätäydellinen toisen lajin elliptinen integraali on

${\displaystyle E(k,\phi )=\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta =\int _{0}^{\sin \phi }{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx}$

ja vastaavasti täydellinen muoto on

${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta }$

Toisen lajin integraali saadaan tuloksena, jos ellipsin reunaviivan pituutta yritetään laskea.

Epätäydellinen kolmannen lajin elliptinen integraali on

${\displaystyle \Pi (k,n,\phi )=\int _{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{(1+n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}=\int _{0}^{\sin \phi }{\frac {dx}{(1+nx^{2}){\sqrt {(1+x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}}$

ja täydellinen

${\displaystyle \Pi (k,n)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{(1+n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}}$

Tässä integraalissa esiintyvä vakio ${\displaystyle n}$ on elliptinen karakteristika.

Täydellisiä ensimmäisen ja toisen lajin elliptisiä integraaleja ${\displaystyle K(k)}$ ja ${\displaystyle E(k)}$ yhdistää nk. Legendren relaatio

${\displaystyle E(a)K(b)+E(b)K(a)-K(a)K(b)={\frac {\pi }{2}}}$.

• Mathworld: Ensimmäisen lajin elliptinen integraali (englanniksi)
• Mathworld: Toisen lajin elliptinen integraali (englanniksi)
• Mathworld: Kolmannen lajin elliptinen integraali (englanniksi)