Funktionaaliyhtälö

Funktionaaliyhtälö on yhtälö, jonka tekijöinä esiintyy riippumattomien muuttujien lisäksi yhtä tai useampaa tuntematonta funktiota, joiden väliset relaatiot funktionaaliyhtälö esittää. Funktionaaliyhtälön yleinen muoto on

${\displaystyle F(f(x),g(x),...,f(y),...,f(x+y),...,g(x+y+x),...;x,y,z,...)=0\,}$,

jonka on toteuduttuva etsityille funktioille mielivaltaisilla muuttujan arvoilla.^[1] Funktionaaliyhtälöt muodostavat kokonaan oman tutkimusalansa analyysissä. Funktionaaliyhtälöiden ratkaisemisen peruslähtökohta on muuntaa yhtälö differentiaaliyhtälöksi ja koettaa määrätä tuntemattomat funktiot antamalla muuttujille sopivia arvoja. Yleisessä tapauksessa funktionaaliyhtälöiden ratkaiseminen on erittäin vaikeaa, mutta tulos on yleensä (ainakin melkein) yksikäsitteinen.

Tarkastellaan funktionaaliyhtälöä

${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)\,}$

Aloitetaan sijoittamalla y=0, jolloin saadaan

${\displaystyle f(x)=f(x)f(0)\,}$,

mistä voidaan päätellä, että f(0)=1. Derivoidaan y:n suhteen ja merkitään ${\displaystyle f'(0)=\alpha \neq 0}$, jolloin saadaan

${\displaystyle f'(x)=f'(x)\alpha \,}$.

Tämä ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on helposti ratkaistavissa ja tulokseksi saadaan

${\displaystyle f(x)=e^{\alpha x}\,}$

Potenssin laskusääntöjen avulla nähdään, että tulos toteuttaa alkuperäisen yhtälön. Rajoituksetta voidaan ajatella, että tässä ollaan oikeastaan etsitty jokin sellainen funktio, jolla on alkuperäisen funktionaaliyhtälön ilmaisema toivottu ominaisuus.

Esimerkin tapaan, funktionaaliyhtälöitä ratkottaessa kannattaa ensiksi yrittää laskea f(0) ja/tai f(1), sillä nämä ovat yhteen- ja kertolaskun neutraalialkiot. Näiden avulla on usein huomattavasti helpompi ratkaista muitakin pisteitä, mikä taas auttaa uusien pisteiden ratkomisessa. Myös induktio on usein hyödyllinen menetelmä.