Idempotentti matriisi

Idempotentti matriisi on sellainen neliömatriisi, jolle

${\displaystyle A^{2}=A\,}$.

Esimerkiksi voidaan laskea, että

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

eli kyseinen matriisi on idempotentti. Jos matriisi A on idempotentti ja I on identiteettimatriisi, niin

• ${\displaystyle I-A\,}$ on idempotentti

• ${\displaystyle \mathrm {Im} (I-A)=\mathrm {Ker} (A)\,}$

• ${\displaystyle \mathrm {Ker} (I-A)=\mathrm {Ker} (A)\,}$

• ${\displaystyle K^{n}=\mathrm {Im} (A)\oplus \mathrm {Ker} (A)}$

• ${\displaystyle A\,}$on diagonalisoituva

• ${\displaystyle A\,}$:n ainoat ominaisarvot ovat nolla ja/tai yksi ja ominaisarvon 1 kertaluku on sama kuin ${\displaystyle A\,}$:n aste.

Tässä merkintä ${\displaystyle K^{n}}$ tarkoittaa kunnan K muodostamaa n-ulotteista vektoriavaruutta, ${\displaystyle \mathrm {Ker} (A)}$ on A:n ydin ja ${\displaystyle \mathrm {Im} (A)}$ on A:n kuva. Geometrisesti idempotentit matriisit vastaavat projektioita avaruudesta jollekin sen aliavaruudelle. Esimerkiksi jos ${\displaystyle (x,y,z)^{T}\,}$ on jokin ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:n vektori

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}}$,

eli edellisen esimerkin idempotentti matriisi kuvaa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:n suoran ${\displaystyle (x,y)}$-tasoon. Jos idempotentti matriisi on lisäksi itseadjungoitu, sen kuvaama projektio on ortogonaalinen.

Erityisen tärkeän joukon muodostavat ortogonaalisesti idempotentit matriisit. Nämä ovat sellainen joukko matriiseja ${\displaystyle \{E_{1},E_{2},...,E_{n}\}\,}$, että kaikille joukon jäsenille pätee

1. ${\displaystyle E_{i}^{2}=E_{i}\,}$
2. ${\displaystyle E_{i}E_{j}=0\,}$

aina kun ${\displaystyle i\neq j}$. Jos lisäksi

${\displaystyle E_{1}+E_{2}+...+E_{n}=I\,}$,

missä ${\displaystyle I}$ on identiteettimatriisi sanotaan ortogonaalisesti idempotenttien matriisien muodostavan täyden joukon. Ortogonaalisilla idempotenteilla on seuraavat ominaisuudet:

• ${\displaystyle I-E_{i}\,}$ on ortogonaaliseti idempotentti.
• Summa ${\displaystyle E_{i}+E_{j}\,}$ on ortogonaalisesti idempotentti kaikilla ${\displaystyle i,j}$.
• Jos ${\displaystyle A=PE_{i}P^{-1}\,}$ niin myös ${\displaystyle A}$ on ortogonaalisesti idempotentti.
• Eräs täysi joukko ortogonaalisesti idempotentteja matriiseja on joukko ${\displaystyle \{E_{11},E_{22},...,E_{nn}\}\,}$, missä kukin ${\displaystyle E_{kk}\,}$ on sellainen matriisi, jonka päädiagonaalilla sijaitseva alkio ${\displaystyle e_{kk}\,}$ on ykkönen ja kaikki muut alkiot nollia.

Täysi joukko ortogonaalisesti idempotentteja matriiseja on keskeinen tekijä matriisien spektraliesityksissä ja spektraalihajotelmissa, sillä ne muodostavat hajotelmaa vastaavan matriisin generoiman alialgebran kannan.

• Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).