Kaarevuuskeskipiste

Käyrän annettuun pisteeseen littyvä kaarevuuskeskipiste on käyrän normaalivektorilla sijaitseva piste, jonka etäisyys käyrästä on käyrän kaarevuussäde. Jos käyrän kaarevuus on nolla, kaarevuuspiste on äärettömän kaukana. Käyrän kaarevuuskeskipiste on samalla sen oskuloivan ympyrän keskipiste. Cauchyn vuonna 1826 esittämän määritelmän mukaan kaarevuuskeskipiste on kahden käyrää äärettömän lähellä olevan normaaliviivan leikkauspiste.^[1]

Käyrän eri pisteisiin liittyvien kaarevuuskeskipisteiden ura on käyrän evoluutta.

Jos käyrällä on parametriesitys ${\displaystyle (x,y)=(f(t),y(t))}$, sen kuhunkin pisteeseen (x, y) liittyvän kaarevuuskeskipisteen koordinaatit ovat:

${\displaystyle x=f(t)-{\frac {(f'(t)^{2}+(g'(t)^{2})g'(t)}{f'(t)g''(t)-f''(t)g'(t)}}}$

${\displaystyle y=g(t)+{\frac {(f'(t)^{2}+(g'(t)^{2})f'(t)}{f'(t)g''(t)-f''(t)g'(t)}}}$^[2]

Ympyrälle voidaan trigonometristen funktioiden avulla muodostaa parametriesitys

${\displaystyle x=f(t)=x_{0}+r\cos {t}}$

${\displaystyle y=g(t)=y_{0}+r\sin {t}}$,

missä x₀ ja y₀ ovat ympyrän keskipisteen koordinaatit ja r ympyrän säde. Näiden ensimmäiset ja toiset derivaatat ovat:

${\displaystyle f'(t)=r{\frac {d\cos {t}}{dt}}=-r\sin(t)}$

${\displaystyle f''(t)=-r^{2}f(t)}$

${\displaystyle g'(t)=r{\frac {d\sin {t}}{dt}}=r\cos {t}}$ ja

${\displaystyle g''(t)=-r^{2}\sin {t}}$,

Sijoittamalla nämä edellä oleviin lausekkeisiin saadaan ympyrän kaarevuuskeskipisteen koordinaateiksi:

${\displaystyle x=x_{0}+r\cos {t}-r\cos {t}=x_{0}}$ ja

${\displaystyle y=y_{0}+r\sin {t}-r\sin {t}=y_{0}}$,

mikä tämäkin osoittaa, että ympyrän jokaiseen pisteeseen liittyvä kaarevuuskesipiste on (x(0), y(0)) eli ympyrän keskipiste.

Suoralla taas on parametriesitys: x = t, y = at + b. Koska näiden molempien toiset derivaatat ovat nollia, saavat edellä olevien lausekkeiden jakajat arvon nolla, joten jakoa ei voi suorittaa. Tämäkin osoittaa, ettei suoralla ole kaarevuuskeskipistettä.

Optiikassa linssin ja peilin kaarevuussäteellä ja kaarevuuskeskipisteellä on erityisen suuri merkitys. Linssin tai peilin kaarevuussäde on pinnan ja sen optisen akselin leikkauspisteen etäisyys pinnan kaarevuuskeskipisteestä.^[3][4]

Koveran pallopeilin polttopiste on sen kaarevuuskeskipisteen ja peilin puolivälissä, toisin sanoen sen polttoväli on puolet sen kaarevuussäteestä.^[5] Jos kuvattava esine sijaitsee koveran pallopisteen kaarevuuskeskipisteessä, sen kuva muodostuu esineen itsensä kohdalle.