Pistetodennäköisyysfunktio

Pistetodennäköisyysfunktio ^[1][2] eli pistetodennäköisyys ^[3] on todennäköisyyslaskennassa diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysfunktio, jolla saa nollasta eroavan arvon yksittäiselle perusjoukon ${\displaystyle \Omega }$ alkeistapaukselle, tapahtumille tai satunnaismuuttujan arvolle.^[4][2][5][3]

Pistetodennäköisyysfunktion arvot saadaan kunkin arvon yleisyydestä, joka määritetään todennäköisyysmitan ${\displaystyle P}$ avulla ^[2][6]

${\displaystyle p(x_{i})=P(X=x_{i}),}$

missä ${\displaystyle x_{i}\in \Omega .}$ Funktio saa todennäköisyysarvoja kaikille perusjoukon arvoille, mutta muille arvoille se määritellään nollaksi. Pistetodennäköisyysfunktio on siten diskreetti kuvaus ^[1]

${\displaystyle p:\Omega \rightarrow .}$

Sitä funktiota, joka määrittelee todennäköisyyslaskennassa satunnaisilmiön alkeistapauksien, tapahtumien tai satunnaismuuttujan arvojen todennäköisyydet, kutsutaan yleisesti todennäköisyysfunktioksi. Diskreettisessä tapauksessa sitä kutsutaan yleisimmin pistetodennäköisyysfunktioksi ja jatkuvassa tapauksessa tiheysfunktioksi. Esimerkiksi englannin kielisten käytäntöjen mukaisesti, molempia tapauksia ja niiden yhdistelmiä kutsutaan harvemmin myös samalla nimityksellä todennäköisyyden massafunktioksi (engl. probability mass function (pmf)), jonka viittaa fysiikan mekaniikkaan, kuten tekee myös käsite tiheysfunktio (engl. probability density function (pdf)), jota käytetään harvoin tässä samassa merkityksessä.^[2]

Tiheysfunktion mallin mukaisesti, pistetodennäköisyysfunktion tunnuksena voidaan käyttää myös latinalaista kirjainta ${\displaystyle f(x)}$ tai jopa kreikkalaista kirjainta ${\displaystyle \phi (x)}$.

Yleensä, diskreettien satunnaismuuttujien tapauksessa, pistetodennäköisyysfunktion kaikkien arvojen esittämiseksi voidaan joutua luettelemaan ne taulukossa. Toisinaan, todennäköisyyksien arvot noudattavat tietyn lausekkeen arvoja. Esimerkiksi satunnaismuuttujan ${\displaystyle Z}$ (kuva) arvot ovat

${\displaystyle p(1)=0{,}2,}$

${\displaystyle p(3)=0{,}5}$ ja

${\displaystyle p(7)=0{,}3.}$

Muilla arvoilla se on nolla ${\displaystyle p(x_{i})=0.}$

Esimerkki diskreetistä satunnaismuuttujasta ${\displaystyle X}$, jonka pistetodennäköisyysfunktion arvot voidaan lausua lausekkeena, saadaan nopanheitosta. Lasketaan todennäköisyys saada "kuutosia" viidestä nopanheitosta. "Kuutosen" esiintymisen todennäköisyys on ${\displaystyle \scriptstyle P({\text{kuutonen}})={\tfrac {1}{6}}}$ ja jonkin muun todennäköisyys on ${\displaystyle \scriptstyle P({\text{muu kuin kuutonen}})={\tfrac {5}{6}}}$. Kombinatoristen sääntöjen mukaan todennäköisyys saada k "kuutosta" on

${\displaystyle p(k)=P(X=k)={\binom {5}{k}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{k}\left({\frac {5}{6}}\right)^{5-k}.}$ ^[4]

Lausekkeen avulla voidaan laskea kaikki todennäköisyydet eri määrille kuutosia (tässä likiarvoina):

${\displaystyle p(0)=0{,}402,}$

${\displaystyle p(1)=0{,}402,}$

${\displaystyle p(2)=0{,}161,}$

${\displaystyle p(3)=0{,}032,}$

${\displaystyle p(4)=0{,}003}$ ja

${\displaystyle p(5)=0{,}0001.}$

Kukin funktion saama arvo on ${\displaystyle 0\leq p(x_{i})\leq 1.}$ Arvot vaihtelevat kuitenkin siten, että niiden summa on aina yksi:

${\displaystyle \sum _{x_{i}\in \Omega }p(x_{i})=1.}$

Tämä sääntö pätee luonnollisesti edellisiin esimerkkeihin.^[2]

Kaikki perusjoukon arvojen todennäköisyydet muodostavat yhdessä niin sanotun todennäköisyysjakauman. Vain diskreettien ilmiöiden ja satunnaismuuttujien jakaumat muodostuvat pistetodennäköisyyksistä.^[3][2][7]

• Todennäköisyysfunktio ja sen jatkuvan tapauksen tiheysfunktio
• Todennäköisyysjakauma